Subgradient

From Quire, the open reference··1 min read

Subgradient är ett matematiskt begrepp som generaliserar derivata och gradient till funktioner som inte är deriverbara. Begreppet används mycket inom konvex optimering.

Definition#edit

En subgradient till en konvex funktion f i punkten ${\displaystyle x_{0$ är en vektor ${\displaystyle g}$ så att

${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+g^{\mathrm {T} }(x-x_{0})}$ ,

för alla vektorer ${\displaystyle x}$ .

På samma sätt definieras en supergradient till konkava funktioner:

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+g^{\mathrm {T} }(x-x_{0})}$ .

Om f är differentierbar i ${\displaystyle x_{0$ finns bara en subgradient i ${\displaystyle x_{0$ , nämligen ${\displaystyle \nabla f(x_{0})}$ .

Exempel#edit

Funktionen

${\displaystyle f(x)=|x|\,}$

är deriverbar överallt utom för ${\displaystyle x=0}$ . I punkten ${\displaystyle x=0}$ är alla tal i intervallet ${\displaystyle [-1,1]}$ subgradienter till ${\displaystyle f}$ . Detta eftersom alla linjer som går igenom ${\displaystyle (0,0)}$ och har en lutning mellan -1 och 1 ligger helt under funktionskurvan.

Referenser#edit

Boyd och Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press 2006

This article is mirrored from “Subgradient” on Svenska Wikipedia, revision 55961048, written by Wikipedia's contributors and licensed CC BY-SA 4.0. Editing it here creates a Quire copy with its own history.

Synced with Wikipedia revision 55961048 · just now