Matrixring

From Quire, the open reference··1 min read

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de matrixring ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ de verzameling van alle ${\displaystyle n\times n}$ -matrices over een willekeurige ring ${\displaystyle R}$ . Deze verzameling is zelf een ring onder de operaties matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging.

Eigenschappen#edit

De matrixring ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ is alleen dan commutatief als ${\displaystyle n=1}$ en de ring ${\displaystyle R}$ commutatief is en in de triviale gevallen dat ${\displaystyle n=0}$ of dat ${\displaystyle R}$ de triviale ring is.
Als ${\displaystyle R}$ commutatief is, is ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ een *-algebra over ${\displaystyle R}$ met ${\displaystyle *}$ het transponeren van een matrix. De afbeelding ${\displaystyle *\colon \mathrm {M} (n,R)\to \mathrm {M} (n,R)}$ met ${\displaystyle A^{*}=A^{\top$ is immers een involutie en voldoet aan:

${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*$ ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*$ ${\displaystyle I^{*}=I}$ ${\displaystyle (A^{*})^{*}=A}$

Het centrum van een matrixring over ${\displaystyle R}$ bestaat uit matrices die van de vorm ${\displaystyle b}$ maal de identiteitsmatrix zijn, waar ${\displaystyle b}$ tot het centrum van de ring ${\displaystyle R}$ behoort.
Een matrixring over een delingsring is een artiniaanse enkelvoudige ring. Het omgekeerde is ook waar en wordt de stelling van Artin-Wedderburn genoemd.
Een matrixring over een priemring is een priemring.

This article is mirrored from “Matrixring” on Nederlands Wikipedia, revision 60268718, written by Wikipedia's contributors and licensed CC BY-SA 4.0. Editing it here creates a Quire copy with its own history.

Synced with Wikipedia revision 60268718 · just now