Polynom

From Quire, the open reference··4 min read

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n$ ,

kde ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ . Čísla ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n$ se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu#edit

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x² – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = ${\displaystyle -\infty }$ .

Příklady polynomů#edit

${\displaystyle p(x)=8x+3}$ je polynom 1. stupně (lineární polynom)
${\displaystyle p(x)=3x^{2}+2x-2}$ je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
${\displaystyle p(x)=3x^{3}-8x}$ je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy#edit

Mějme polynom ${\displaystyle n}$ -tého stupně ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},a_{n}\neq 0}$ , a polynom ${\displaystyle m}$ -tého stupně ${\displaystyle g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i},b_{m}\neq 0}$ .

Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x}$ pouze tehdy, je-li ${\displaystyle n=m}$ a pro každé ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ platí ${\displaystyle a_{i}=b_{i$ .

Sečtením polynomů ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle g(x)}$ získáme polynom

${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^{r}(a_{i}+b_{i})x^{i$ ,

kde ${\displaystyle r=max(n,m)}$ . Stupeň výsledného polynomu je ${\displaystyle \leq r}$ . (Odpovídající koeficienty polynomů ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle g(x)}$ mohou v součtu dávat 0.)

Součin polynomů ${\displaystyle f(x),g(x)}$ je polynom ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)}$ , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je ${\displaystyle s=n+m}$ .

Platí tedy, že ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{n+m}(\sum _{j=0}^{i}a_{j}\cdot b_{i-j})x^{i$ .

Je-li kde ${\displaystyle n\geq m}$ , pak existují právě dva polynomy ${\displaystyle r(x),s(x)}$ takové, že platí

${\displaystyle f(x)=g(x)r(x)+s(x)}$

kde ${\displaystyle s(x)}$ má stupeň menší než ${\displaystyle m}$ nebo je nulovým polynomem. Pokud ${\displaystyle s(x)}$ je nulový polynom, pak říkáme, že polynom ${\displaystyle f(x)}$ je dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)}$ .

Polynomy tvoří vektorový prostor.

Hornerovo schéma#edit

Polynom ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i$ lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle p(x)=(...((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+...+a_{1})x+a_{0$

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu ${\displaystyle p(x)}$ v bodě ${\displaystyle x}$ postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

${\displaystyle c_{n}=a_{n$ ,

${\displaystyle c_{n-1}=c_{n}x+a_{n-1$ ,

${\displaystyle c_{n-2}=c_{n-1}x+a_{n-2$ ,

…

${\displaystyle c_{0}=c_{1}x+a_{0$ ,

pak poslední číslo ${\displaystyle c_{0$ představuje právě hodnotu polynomu ${\displaystyle p(x)}$ v bodě ${\displaystyle x}$ .

Příklady#edit

Mějme polynomy ${\displaystyle f(x)=x^{4}-x}$ , ${\displaystyle g(x)=x^{3}-2x+1}$

${\displaystyle f(x)+g(x)=x^{4}-x+x^{3}-2x+1=x^{4}+x^{3}-3x+1}$

${\displaystyle f(x)\cdot g(x)=(x^{4}-x)(x^{3}-2x+1)=x^{7}-2x^{5}+x^{4}-x^{4}+2x^{2}-x=x^{7}-2x^{5}+2x^{2}-x}$

Pokusme se zjistit, zda je polynom ${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1}$ dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$ .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu ${\displaystyle f(x)}$ členem s nejvyšší mocninou polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. ${\displaystyle {\frac {x^{4{x^{2=x^{2$ . První člen polynomu ${\displaystyle r(x)}$ tedy bude ${\displaystyle x^{2$ . Tímto členem vynásobíme polynom ${\displaystyle g(x)}$ (dostaneme tedy ${\displaystyle x^{4}+x^{2$ ) a výsledek odečteme od polynomu ${\displaystyle f(x)}$ , čímž získáme nový polynom ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)-(x^{4}+x^{2})=-4x^{2}+2x+1}$ .

Nejvyšší člen polynomu ${\displaystyle f_{1}(x)}$ opět dělíme nejvyšším členem polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. ${\displaystyle {\frac {-4x^{2{x^{2=-4}$ , tzn. další člen polynomu ${\displaystyle r(x)}$ je ${\displaystyle -4}$ . Tímto členem opět násobíme polynom ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. získáme ${\displaystyle -4x^{2}-4}$ , a výsledek odečteme od polynomu ${\displaystyle f_{1}(x)}$ . Získáme nový polynom ${\displaystyle f_{2}(x)=2x+5}$ .

Stupeň polynomu ${\displaystyle f_{2}(x)}$ je však nižší než stupeň polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom ${\displaystyle f_{2}(x)}$ tedy odpovídá polynomu ${\displaystyle s(x)}$ .

Výsledek tedy je

${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1=g(x)r(x)+s(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-4)+(2x+5)}$ ,

tzn. ${\displaystyle r(x)=x^{2}-4}$ a ${\displaystyle s(x)=2x+5}$ .

Vzhledem k tomu, že ${\displaystyle s(x)\neq 0}$ , není polynom ${\displaystyle f(x)}$ dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)}$ .

Kořen polynomu#edit

Číslo ${\displaystyle \alpha }$ se nazývá kořen polynomu ${\displaystyle p(x)}$ , jestliže platí

${\displaystyle p(\alpha )=0}$

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti#edit

Je-li ${\displaystyle \alpha }$ kořenem polynomu ${\displaystyle p(x)}$ stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ , pak

${\displaystyle p(x)=(x-\alpha )g(x)}$ ,

kde ${\displaystyle g(x)}$ je polynom stupně ${\displaystyle n-1}$ .

Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze ${\displaystyle k}$ kořenů polynomu ${\displaystyle n}$ -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom ${\displaystyle p(x)}$ na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu ${\displaystyle g(x)}$ stupně ${\displaystyle n-k}$ , tzn.

${\displaystyle p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})g(x)}$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{i$ představují známé kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$ . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu ${\displaystyle p(x)}$ stačí hledat pouze kořeny polynomu ${\displaystyle g(x)}$ , tzn. řešit rovnici ${\displaystyle g(x)=0}$ , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$ . Polynom ${\displaystyle g(x)}$ získáme z polynomu ${\displaystyle p(x)}$ jeho vydělením výrazem ${\displaystyle (x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})}$ .

Rozklad na kořenové činitele#edit

Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom ${\displaystyle p(x)}$ stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n$ jsou kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$ . Členy ${\displaystyle (x-\alpha _{i})}$ označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene#edit

Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát

${\displaystyle f(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{k_{1\cdot (x-\alpha _{2})^{k_{2\cdot ...\cdot (x-\alpha _{n})^{k_{n$ ,

kde ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=n}$ , přičemž ${\displaystyle k_{i$ jsou přirozená čísla. Čísla ${\displaystyle k_{i$ určují násobnost kořene ${\displaystyle \alpha _{i$ , tzn. kolikrát se kořen ${\displaystyle \alpha _{i$ vyskytuje v řešení polynomu.

Pokud má polynom stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ s reálnými koeficienty ${\displaystyle k}$ -násobný kořen ${\displaystyle \alpha =a+ib}$ , má také ${\displaystyle k}$ -násobný kořen ${\displaystyle {\overline {\alpha =a-ib}$ . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem ${\displaystyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha )=x^{2}-2xa+(a^{2}+b^{2})}$ .

Podle předchozího tvrzení lze každý polynom ${\displaystyle p(x)}$ stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla ${\displaystyle a_{n$ , reálných kořenových činitelů ${\displaystyle x-\alpha _{i$ a reálných trojčlenů ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i$ , splňujících podmínku ${\displaystyle p_{i}^{2}-4q_{i}<0}$ , tzn.

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})(x^{2}+p_{1}x+q_$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},p_{1},...,p_{m},q_{1},...,q_{m$ jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka ${\displaystyle k+2m=n}$ .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{u_{1\cdots (x-\alpha _{s})^{u_{s(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{v_{1\cdots (x^{2}+p_{r}x+q_{r})^{v_{r$ ,

kde ${\displaystyle u_{1}+u_{2}+...+u_{s}=k}$ určuje počet reálných kořenů polynomu a ${\displaystyle v_{1}+v_{2}+...+v_{r}=m}$ je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Pokud jsou ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n$ kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0$ , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=-a_{n-1$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}++\alpha _{n-1}\alpha _{n}=a_&#123$

…

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{n}=(-1)^{n}a_{0$

Derivace polynomu#edit

Derivací polynomu ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i$ rozumíme polynom tvaru ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot ix^{i-1$ . Derivaci značíme ${\displaystyle f}$ '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

{{mathimg|6500843effa44dffb09f10fe667b24b8f3994956|width=8.57ex|height=3.176ex|va=-0.671ex|alt={\displaystyle f\ ^{(1)}=f}}} '

{{mathimg|7c04f08a04ceb0cf42190391b6bc2adc3921cc6a|width=15.184ex|height=3.343ex|va=-0.838ex|alt={\displaystyle f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})}}} '

Souvislost derivace a násobnosti kořene#edit

Číslo ${\displaystyle \alpha }$ je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu ${\displaystyle k-1}$ (a není kořenem derivace řádu ${\displaystyle k}$ ).

Polynom dvou proměnných#edit

Funkci ${\displaystyle P}$ dvou proměnných ${\displaystyle x\in R,y\in R}$ označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla ${\displaystyle n,m}$ a konstanty ${\displaystyle a_{ij$ takové, že platí

${\displaystyle P(x,y)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{ij}x^{i}y^{j$ .

Související články#edit

Externí odkazy#edit

Obrázky, zvuky či videa k tématu polynom na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo mnohočlen ve Wikislovníku
Kalkulačka na hledání reálných kořenů polynomu

This article is mirrored from “Polynom” on Čeština Wikipedia, revision 25547515, written by Wikipedia's contributors and licensed CC BY-SA 4.0. Editing it here creates a Quire copy with its own history.

Synced with Wikipedia revision 25547515 · just now